Suites

Suites : récurrence et monotonie

Comprendre et maîtriser suites : récurrence et monotonie grâce à un cours structuré, des méthodes, des exemples et une évaluation de fin de chapitre.

🧭 Avant de commencer : repartir des bases

En Terminale, les suites servent souvent à enchaîner trois raisonnements : prouver une propriété par récurrence, déterminer un sens de variation, puis conclure à la convergence à l'aide d'une borne.

Conseil : si une ligne te semble déjà difficile, ne passe pas à la suivante. Reprends un exemple numérique ou un dessin très simple, puis reviens ici.
  • Avant l'initialisation, écrire clairement la propriété \(P_n\) à démontrer.
  • Hérédité : supposer \(P_n\) vraie pour un entier \(n\) et démontrer \(P_{n+1}\).
  • Pour la monotonie, étudier \(u_{n+1}-u_n\) ; pour une suite positive, un quotient peut parfois être plus simple.

🔗 Cours à revoir si tu bloques

Ces liens ouvrent directement les chapitres qui servent de prérequis. Tu peux revenir ensuite à ce cours.

🎯 Objectifs du chapitre

  • Démontrer une propriété par récurrence
  • Étudier monotonie et bornes
  • Reconnaître des suites définies par une fonction

📚 Cours pas à pas

1

Démontrer une propriété par récurrence

Commence par identifier précisément ce que l’énoncé te donne et ce que tu dois trouver. Reformule la notion avec un exemple très simple avant de calculer.

Réflexe utile : Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion

2

Étudier monotonie et bornes

Ensuite, relie les données à la propriété du cours. Écris la relation utile avant de remplacer les lettres par des nombres : cela évite beaucoup d’erreurs.

Réflexe utile : Étudier \(u_{n+1}-u_{n}\) ou \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\)

3

Reconnaître des suites définies par une fonction

Enfin, contrôle ton résultat : signe, ordre de grandeur, unité ou cohérence géométrique. Un résultat correct doit aussi avoir du sens dans la situation.

Réflexe utile : Une suite croissante et majorée converge

🔎 Approfondir pas à pas

Ces blocs reprennent les méthodes indispensables avec les formules, les conditions d’utilisation et un exemple court.

1

Récurrence en trois étapes

Une rédaction complète contient l'initialisation, l'hérédité et la conclusion. L'hypothèse de récurrence doit être explicitement utilisée.

  • Initialisation : vérifier \(P_{n_0}\).
  • Hérédité : soit \(n\ge n_0\), on suppose \(P_n\) vraie et on montre \(P_{n+1}\).
  • Conclusion : invoquer le principe de récurrence.
Exemple guidé

Question : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n\). Montrer que \(u_n=2\times3^n\).

Correction : Initialisation au rang 0. Puis, si \(u_n=2\times3^n\), alors \(u_{n+1}=3u_n=2\times3^{n+1}\). La propriété est donc vraie pour tout \(n\).
2

Démontrer une inégalité par récurrence

Pour une inégalité, on part souvent de l'hypothèse au rang \(n\) et on la transforme pour obtenir l'inégalité voulue au rang \(n+1\).

Exemple guidé

Question : \(u_0=5\), \(u_{n+1}=0{,}3u_n+2\). Montrer que \(u_n>1\).

Correction : Si \(u_n>1\), alors \(0{,}3u_n>0{,}3\), donc \(u_{n+1}>2{,}3>1\). Avec l'initialisation, la propriété est établie.
3

Monotonie : étudier une différence

\[u_{n+1}-u_n>0\Rightarrow (u_n)\text{ croissante}\]
\[u_{n+1}-u_n<0\Rightarrow (u_n)\text{ décroissante}\]
Exemple guidé

Question : On sait que \(u_n>2\) et \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}\). Quel est le sens de variation ?

Correction : Le numérateur est négatif et le dénominateur positif ; la différence est donc négative. La suite est décroissante.
4

Convergence monotone

Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Ce théorème prouve l'existence d'une limite mais pas sa valeur.

  • Prouver d'abord la monotonie.
  • Prouver ensuite la borne adaptée.
  • Si une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) est continue et si \(u_n\to\ell\), on peut parfois chercher \(\ell\) par l'équation \(\ell=f(\ell)\).

🧩 Méthode à retenir

  1. Étape 1 : Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion
  2. Étape 2 : Étudier \(u_{n+1}-u_{n}\) ou \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\)
  3. Étape 3 : Une suite croissante et majorée converge
BAC

🎓 Enchaînement type Bac : suite définie par récurrence

Ce que tu dois savoir faire

  1. Calculer un premier terme sans erreur de parenthèses.
  2. Associer \(u_{n+1}=f(u_n)\) à l'étude de la fonction \(f\).
  3. Prouver une borne par récurrence.
  4. Déduire la monotonie d'une expression factorisée de \(u_{n+1}-u_n\).
  5. Conclure à la convergence par monotonie et borne.
  6. Introduire une suite auxiliaire pour transformer une récurrence rationnelle en suite géométrique.
Stratégie : Ne cherche pas la limite trop tôt : dans un sujet de Bac, chaque question prépare généralement la suivante. La borne sert souvent à fixer le signe de la différence, puis la monotonie permet d'obtenir la convergence.
Mini-question type Bac

Énoncé : Une suite vérifie \(u_0=8\) et \(u_{n+1}=\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}\). On a montré \(u_n>2\) et que la suite est décroissante. Que peut-on conclure ?

Voir la correction raisonnée
Elle est décroissante et minorée par 2, donc elle converge. Si l'on note sa limite \(\ell\), la relation de récurrence permet ensuite de rechercher \(\ell\) parmi les solutions de \(\ell=\dfrac{6\ell+2}{\ell+5}\).

💡 Exemples concrets et corrigés

Lis d’abord la question, essaie quelques secondes, puis compare avec la correction.

Exemple très simple

Question : Pour prouver \(u_{n} \ge 0\) par récurrence, quelle étape vient d'abord ?

Correction pas à pas : Vérifier la propriété au rang initial.
Exemple concret

Question : Une suite décrivant un capital peut être croissante mais plafonnée. Si elle est croissante et majorée, on sait qu'elle converge.

Correction pas à pas : Le théorème évite de calculer tous les termes.
Exemple du chapitre

Énoncé : Pour prouver \(P(n)\) par récurrence, quelles sont les deux étapes essentielles ?

Correction : Initialisation puis hérédité.

⚠️ Erreurs fréquentes

  • Commencer l'hérédité sans avoir posé précisément \(P_n\).
  • Utiliser l'hypothèse de récurrence sans l'indiquer.
  • Écrire « monotone donc convergente » sans prouver une borne.
  • Chercher la limite par l'équation de point fixe avant d'avoir prouvé la convergence.

✍️ Vérifie que tu as compris

À toi de jouer : Une suite est décroissante et vérifie \(u_n\ge3\) pour tout \(n\). Que peut-on affirmer ?

Voir la correction
Elle est minorée par 3 ; le théorème de convergence monotone garantit donc qu'elle converge.

✅ Avant le quiz

  • Je sais expliquer les mots importants du chapitre.
  • Je sais refaire au moins un exemple sans regarder la correction.
  • Je sais choisir la bonne méthode et vérifier si mon résultat est cohérent.
  • Si ce n’est pas le cas, je retourne au bloc « Cours à revoir si tu bloques ».
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